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 更換投影面法

基本概念

更換投影面法是保持空間幾何元素的位置不動，而用新的投影面代替原來的投影面，使空間幾何元素對新投影面處于有利解題的位置。

圖5-2表示一鉛垂面△ABC，該三角形在V、H兩投影面體系(以后簡稱V₁/H體系)中的兩個投影都不反映實形。假如取一平行于三角形的V₁面來代替V面，則V₁面和H面構成一個新的兩投影面體系V₁/H。三角形在V₁/H體系中的投影a₁'b₁'c₁'就反映三角形的實形。再以V₁面和H面的交線X₁ (投影軸)為軸，使V₁面旋轉至與H面重合，就得出V₁/H體系的投影圖。原來的V面稱為舊投影面，H面稱為不變投影面，V₁面稱為新投影面；原來的投影軸X稱為舊軸，X₁稱為新軸；a'b'c'稱為舊投影，abc稱為不變投影，a₁'b₁'c₁'稱為新投影。

必須指出，新投影面是不能任意選擇的，它的選擇一定要符合以下兩個基本條件：

（1）、新投影面必須垂直于不變投影面，以構成一個新的兩投影面體系；

（2）、新投影面必須對空間幾何元素處于有利于解題的位置。

以下分別研究點、直線、平面在更換投影面時，新舊投影的關系和作圖問題。

點的變換

點是基本的幾何元素，應首先了解點在更換投影面時，新舊投影的關系。

圖5-3a表示點A在V/H體系中的兩個投影a和a'�，F(xiàn)在取一個鉛垂面V₁來代替V面作為新的正投影面，以形成新的兩投影面體系V₁/H。

由點A向V1面作垂線，其垂足a₁'即為點A的新的正面投影。再使V₁面繞新軸X₁旋轉至與H面重合，則a和a'兩點一定在X₁軸的同一垂線上。

由于V/H體系和V₁/H體系具有公共的H面，因此點A到H面的距離(即Z坐標)在這兩個兩投影面體系中都是相同的，即a'a_x=Aa=a₁'a_x1。

因此，在投影圖(圖5-3b)上，先畫出新投影軸X₁，然后由點a向X₁軸作垂線，使與X₁軸相交點ax₁。再在此垂線上取一點a₁'，使a₁'a_x1=a'a_x，點a₁'即為點A的新正面投影。

以上為更換V面的情形。當有必要時，也可更換H面，即用H₁代替H，從而建立起新的V/H₁體系(圖5-4)。其分析、作圖方法同上。

由以上可知，在更換投影面時，點在新、舊兩投影面體系中的投影具有如下規(guī)律：

（1）. 新投影與不變投影之間的連繞垂直于新投影軸；

（2）. 新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離。

以上在更換V面或更換H面時，都是將原來的兩個投影面H、V中更換一個而保留另外一個，所以稱為更換一次由于面。

但在更換投影面法中，有時更換一次還不能解決問題，這時必須更換兩次或更多次。

在更換兩個或兩個以上的投影面時，點的新投影的求法與更換一個投影面時完全相同。但必須指出，V面和H面必須交替更換。

圖5-5所示為把V/H體系經(jīng)過V₁/H體系而更換為V₁/H₁體系(有時更換的方式為V/H→V/H₁→V₁/H₁)的情況。

直線的變換

直線是由兩個點所決定的，因此，在更換直線的投影時，只要把直線上的任意兩個點的投影加以變換，即可求得直線的新投影。

1. 將一般位置直線變換為新投影面的平行線

如圖5-6a所示，取V₁平行于AB且垂直于H面，則在新體系V₁/H中，AB就成為了正平線。只要注意到V₁面距AB的距離是任意的，X₁平行于ab,則可按變換規(guī)律求出直線的新投影，從而得到直線的實長和α角。

圖5-7為求直線AB的實長和其β角的作圖過程。

2. 將投影面平行線變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本�

要將投影面平行線AB變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本� ， 則新投影面H₁必須與AB垂直，在V/H₁體系中，AB就成了垂直線。

如圖5-8a所示，要將正平線AB變?yōu)榇怪本�，則新投影面H₁必須與AB垂直。這樣，在V/H₁體系中，AB就成了鉛垂線。

在投影圖(圖5-8b)上，作X₁垂直于a'b'，然后求出AB在H₁面上的新投影a'b'。

3.將一般位置直線變換為新投影面的垂線

如果要將一般位置直線變換為新投影面的垂直線，想用更換一次投影面來解決是不可能的。因為，如果直接作一投影面使之垂直于直線AB，則此投影面一定也為一般位置平面，而與任一原有投影面不能構成直角投影體系。為了解決這個問題，必須更換兩次投影面：首先使直線AB變換為一個新投影面的平行線，然后再變換為另一新投影面的垂直線。作圖過程如圖5-9所示。

平面的變換

平面是由不在同一直線上的三點(或其他幾何元素組合)決定的，因此在更換投影面時，只需把決定平面的幾何元素的投影加以變換，即可求得平面的新投影。

1.將一般位置平面變換為新投影面的垂直面

如圖5-10所示，要將一般位置平面變換為新投影面的垂直面，則所選的新投影面既要垂直于該一般位置平面，又要與舊體系中某一投影面垂直。為此，可將該一般位置平面內的一條投影面平行線變換成新體系中的垂直線，則該一般位置平面必然隨之變?yōu)橥队懊娴拇怪泵妗?span lang="EN-US" style="font-family:"Arial","sans-serif"">

2.將投影面垂直面變換為新投影面的平行面

若要將投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻�，則需選新投影面與該垂直面平行即可（在投影圖上表現(xiàn)為新軸與該垂直面的積聚性投影平行）。作圖過程如圖5-11所示。

3.將一般位置平面變換為新投影的平行面

要將一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻�，必須更換兩次投影面。即先把它變成一個新投影面的垂直面，再變?yōu)榱硪粋�新投影面的平行面。其作圖方法如圖5-12和圖5-13所示。

應用舉例

例5-1. 求△ABC與△BCD的真實夾角 (如圖5-14a)。

分析：觀察圖5-14b，當兩平面同時垂直于一個投影面時，在該投影面上的投影就反映出兩平面的真實夾角。要使兩平面同時變換為新投影面的垂直面，必須把它們的交線變換為新投影面的垂直線。因其交線BC為正平線，故只需要更換一次投影面，在V/H₁體系中將BC變換為垂直線，∠a₁c₁d₁即反映△ABC與△BCD的真實夾角。

作圖：

（1） 取X₁⊥b₁c_1;

（2） 一次變換求得θ角。

例5-2. 圖5-15a給出了兩輸油管軸線AB與CD的位置，今要在兩管距離最近處將它們連接起來，求連接點的位置及連接管的長度。

分析：我們把兩輸油管線AB、CD看作空間交叉兩直線，最短距離為其公垂線。

觀察圖5-15b，我們若將兩交叉直線之一(如CD),變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本�，則公垂線KL必平行新投影面，其新投影反映真長，且與另一直線AB在新投影面上的投影反映直角。作圖(圖5-15a):

（1）、更換兩次投影面，即先將直線CD在V₁/H體系中變?yōu)?i>V₁面的平行線，再在V₁/H₁體系中變?yōu)?i>H₁面的垂直線，直線AB也隨之作相應的變換；

（2）、過C₁ (亦即d₁)作k₁l₁⊥a₁b₁，k₁l₁即為公垂線KL在H₁面上的投影。根據(jù)k₁l₁再返回作圖，求出KL在H、V面上的投影(k l,k'l')。K(k,k')及L(l,l')為兩油管距離最近的連接點，k₁l₁ 表示連接管的長度。

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